Pāriet uz saturu

Lopitāla kārtula

Vikipēdijas lapa
Gijoms Lopitāls, kā vārdā ir nosaukta šī kārtula

Lopitāla kārtula ļauj netieši atrast funkciju dalījuma robežu, ja tiešie robežas noteikšanas paņēmieni noved līdz nenoteiktībai vai . Šim nolūkam sākotnējo funkciju dalījuma vietā aplūko to atvasinājumu dalījumu, kas daudzos gadījumos palīdz atbrīvoties no nenoteiktības.

Kārtula nosaukta franču matemātiķa Gijoma Lopitāla (1661–1704) vārdā, kaut arī to atklāja Lopitāla skolotājs, Šveices matemātiķis Johans (I) Bernulli. Lopitāls bija pirmais, kurš šo kārtulu nopublicēja — savā diferenciālrēķinu mācības grāmatā 1696. gadā.

Formulējums un noteikumi

[labot šo sadaļu | labot pirmkodu]

Pieņemsim, dotas funkcijas , , un

.

Ja eksistē robeža

, tad
.

Noteikumi:

  • un ir skaitļi no paplašinātās reālo skaitļu ass (t. i. ass, kas iekļauj ne tikai reālos skaitļus, bet arī negatīvo bezgalību un pozitīvo bezgalību ).
  • Funkcijām un jābūt diferencējamām kādā atvērtā intervālā , kurš ietver sevī punktu vai kuram punkts ir viens no galiem. Līdz ar to aplūkojamā robeža var būt arī vienpusīga .
  • visā intervālā (izņemot, varbūt, punktu , ja tas atrodas intervāla iekšienē un aplūkojamajā uzdevumā ir vienāds nullei).


Kārtulas neapgriežamība

[labot šo sadaļu | labot pirmkodu]

Apgrieztais princips nedarbojas: no tā, ka robežvērtība eksistē, nevar izsecināt, ka eksistē arī .
Arī neesamība vēl nenozīmē neesamību.
 


Piemērs ar skaitlisku robežvērtību

[labot šo sadaļu | labot pirmkodu]

Jāatrod robeža .             Šeit       un       .
 
Tā kā un , pastāv nenoteiktība .

Tāpēc aplūkosim . Ja šī robeža eksistē, varēs izmantot Lopitāla kārtulu.

.

Tātad, saskaņā ar Lopitāla kārtulu:

.


 

Piemērs ar robežvērtību ∞

[labot šo sadaļu | labot pirmkodu]

Jāatrod robeža .             Šeit       un       .
 
Tā kā un , pastāv nenoteiktība .

Ja eksistē, varēs izmantot Lopitāla kārtulu.

.

Lopitāla kārtulas izpratnē ir skaitlis un robežvērtība tiek uzskatīta par eksistējošu. Tātad, saskaņā ar Lopitāla kārtulu,

.


 

Kārtulas secīgas izmantošanas piemērs

[labot šo sadaļu | labot pirmkodu]

Ja pēc vienas diferencēšanas atkal rodas nenoteiktība vai , Lopitāla kārtulu var pielietot atkārtoti, aplūkojot otro atvasinājumu attiecību, utt. Pieņemsim, jāatrod robeža . Šeit pēc pirmās diferencēšanas nenoteiktība vēl saglabājas, bet pēc otrās pazūd.
 


Brīdinoši piemēri

[labot šo sadaļu | labot pirmkodu]

Nenoteiktības neesamība

[labot šo sadaļu | labot pirmkodu]

Neievērojot nenoteiktības esamības nepieciešamību, var iegūt nepareizus rezultātus. Aplūkosim sekojošo piemēru, kurā Lopitāla kārtula tiek uzreiz pielietota divas reizes ātras risināšanas labad.

Šis rezultāts ir nepareizs. Kļūda ir radusies tāpēc, ka pirms otrās diferencēšanas netika ievērota prasība par nenoteiktības esamību. Pirmie atvasinājumi dod noteiktu dalījumu , no kura var tieši atrast pareizo robežvērtību .
 

Robežvērtības neesamība

[labot šo sadaļu | labot pirmkodu]

Prasība par robežvērtības esamību ir būtiska, jo dažas funkcijas un/vai var nerimstoši svārstīties. Ja tas notiek, Lopitāla kārtulu pielietot nevar.
Piemēram, un . Tātad, argumentam tiecoties uz , pastāv nenoteiktība .

Bet Lopitāla kārtulu pielietot nevar, jo neeksistē kosinusa un sinusa funkciju periodiskuma dēļ, argumentam tiecoties uz . Tajā pat laikā sākotnējam dalījumam robežvērtība ir — to var atrast, pārveidojot sākotnējo dalījumu divos dalījumos: .


Kārtulas pieminēšana daiļliteratūrā

[labot šo sadaļu | labot pirmkodu]

Arkādija un Borisa Strugacku fantastikas romānā "Pirmdiena sākas sestdien" (1965) dežurējoši dēmoni laika kavēšanai stāsta viens otram anekdotes par nenoteiktības novēršanu ar Lopitāla metodi.